Σε μια κατσαρόλα με λίγο ελαιόλαδο βάζουμε το κρεμμύδι ψιλοκομμένο.
Προσθέτουμε την πιπεριά, το φινόκιο και τα κολοκύθια (αφαιρούμε το κέντρο) σε κυβάκια.

Ψιλοκόβουμε καλά την καυτερή πιπεριά και την ρίχνουμε στην κατσαρόλα.
Ρίχνουμε λίγο αλάτι και καπνιστή πάπρικα.

Μαγειρεύουμε για 10 λεπτά. Μόλις μαλακώσουν τα λαχανικά σβήνουμε τη φωτιά.
Ψιλοκόβουμε καλά τις γαρίδες και τις προσθέτουμε στην κατσαρόλα.

Κόβουμε το σκόρδο, αφαιρούμε το κέντρο, το ψιλοκόβουμε, ρίχνουμε λίγο αλάτι από πάνω και πιέζουμε με την πίσω πλευρά του μαχαιριού μέχρι να γίνει σαν πάστα.

Προσθέτουμε το βασιλικό ψιλοκομμένο, το ξύσμα από το lime και ανακατεύουμε.
Απλώνουμε τη γέμιση σε ένα πιάτο ή ταψί και αφήνουμε να κρυώσει για 15 λεπτά.
Κόβουμε τη ζύμη σε στρογγυλά κομμάτια. Σε ένα μικρό μπολ σπάμε το αβγό και ανακατεύουμε καλά.

Βάζουμε μια γεμάτη κουταλιά από τη γέμιση στη ζύμη, αλείφουμε τις άκρες με το αβγό και κλείνουμε καλά.

Τα απλώνουμε σε ένα αντικολλητικό ταψί. Προσθέτουμε λίγο νερό στο αβγό, ανακατεύουμε και αλείφουμε με πινέλο την επιφάνεια κάθε πίτας.

Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 170°C μέχρι να πάρουν το κατάλληλο χρώμα.

Μόλις ψηθούν τα τοποθετούμε σε ξύλινη επιφάνεια και αφήνουμε να κρυώσουν για 10 λεπτά.

Σερβίρουμε.